勷勤数学•领军学者报告

题      目：Liouville Theorem and Regularity for Monge-Ampère Equations (Monge-Ampère方程的Liouville定理与正则性理论)

报  告  人： 简怀玉 教授  (邀请人：钟学秀)

                                       北京工商大学&清华大学

时      间： 10月24日  15：00-16:00

地     点：数科院东楼401报告厅

报告人简介:

        简怀玉，清华大学博士毕业，2000年任清华大学教授和博士研究生导师，曾获教育部2000年跨世纪人才荣誉称号，在非线性椭圆和抛物方程研究领域发表论文80余篇，部分结果被包括二位菲尔兹奖在内的等十几位国际一流学者在其专著或Acta Math、Ann Math、JAMS等顶尖刊物上引用。曾兼任中国工业和应用数学学会（CSIAM）第四届常务理事、秘书长和《数学进展》、《Frontier of Math in China》等杂志编委，现兼CSIAM常务理事和《应用数学学报》等杂志编委。现主持国家自然科学科学基金重点专项项目一项。

摘      要：

       Monge-Ampère方程是一类源于微分几何、最优传输等领域的完全非线性偏微分方程，其理论研究中两个经典而核心的课题是Liouville型定理（判定方程的解是否必为平凡解）和解的正则性（解的光滑性）。前者是证明后者不可或缺的关键工具。

      本报告将系统介绍简怀玉教授及其合作者在Monge-Ampère方程相关前沿问题上的一系列深刻成果。报告将首先回顾从经典调和函数到Monge-Ampère方程的Liouville定理与Bernstein型定理的发展脉络。随后，重点阐述简教授团队的最新进展：

   （1）带Neumann边值条件的Liouville定理：针对半空间上的Monge-Ampère方程，简教授团队证明了在特定增长性条件下，其凸黏性解必为二次多项式。这一结果（JFA, 2023）是经典全空间结果在半空间情形的重大推广。

   （2）Schauder正则性理论的应用：上述Liouville定理被成功应用于证明带有斜边值条件的Monge-Ampère方程的全局Schauder估计（即解的高阶正则性），即使在维度n≥3且边界不具备“严格凸”的经典假设下，也建立了解的二阶Hölder连续性。

  （3）奇异Monge-Ampère方程的Liouville定理：针对一类来源于仿射几何（如仿射双曲球）的奇异Monge-Ampère方程，简教授团队建立了全新的Liouville定理，为利用blow-up方法研究该方程边界正则性提供了理论基础。

     本报告将展现如何通过精巧的分析技巧，将经典的Liouville定理思想发展为解决现代非线性偏微分方程正则性问题的强大工具。报告内容涵盖了简怀玉教授在该领域的多项代表性工作，充分体现了其研究的深度与影响力。

        欢迎老师、同学们参加、交流！